数学者の時間

数学アートで一面展開図のような「ものづくり」をしていると、つくることに楽しさが加速され、気付いたことをわざわざノートにメモとりづらく、どんどん作業を進めたくなってしまう。また、メモをとることで、ふりかえりの際に、新しい気づきを与えてくれるの、そういった経験が少ないからだと考えてしまいます。

ただの記録とはちがい、ノートに気づきをメモすることは、思考のスピードを落として、落ち着いて考え直す効果が高く、電子端末があれば写真をとって解決いうことはできないなと思う。やはり、鉛筆使ってメモすることが問題解決の役に立っていると確信。

だからこそ、そのメモをとるよさが子どもたちに伝わるように、実際に僕が自分の数学者ノートにどんなメモを書いてみる姿をみせました。いわゆる、「考え聞かせ」をやってみせました。実際に、問題解決に必要なメモ過程を生中継することは、何をどういうプロセスで書くのかが明確に伝わり、子どもたちからはわかりやすいと好評でした。

このあたりは、この本が大変参考になっています。

実際に子どもたちに話をしたこと

みんなは、ノートには、どんなことをメモしていますか。算数授業では、まずは「先生が黒板に書いた」ものをうつしたりしていますね。

数学者のノートには、そこに「自分の考えの筋道」が書かれているものです。

でも、ものづくりをしているときは、ついつい、早く次に進みたい。どんどんやりたいからメモはしないでOK！じゃん、なんてことも。

でもちょっとまって。

考えをノートにメモしないで、あわただしく進めてしまうことで、繰り返し同じ失敗をしてしまったことはありませんか。または、せっかく問題を解けたのにしたのに、どういう風にそこにたどり着いたのかが、よく思い出せずに、もう一回やろうとしてもできないことってありませんか。

考えをメモすることは、ゆっくり考えるきっかけをつくってくれます。どういう筋道で考えたのか、どういう風に失敗したのか、それまで瞬時に考えて進めてしまっていたことにブレーキをかけてスピードをコントロールしてくれます。

メモすることは、今まで気づけなかったヒラメキが生まれたり、予想がうまれてきます。こんなに便利な学習法法のメモしない手はありません！

でも、実際に何を書いたらいいのかな。ここでイガせんがやってみますので見て参考にしてください。

そういって、実際に書きながらメモをすすめる姿をみせてみました。

僕はわりかし、こうやって授業を整え、整え、子ども中心の活動が増えたとしても大きく崩さないように子どもたちに必要なスキルをミニ・レッスンで示していることが多い先生なんだと思います。こういうことの積み重ねなんだろうな。授業って。

これまでは、子どもたちのノートや作品、授業の感想をつかって問題をつくったり、授業を展開していたけれど、それはすべて事後的な結果の作品のみを見せていました。やはり、ライブでその実際にやっている生中継してみせることのエンパワーメントは計り知れないと思います。

でもまぁ、知っていると、できるとの間には大きな隔たりがあります。学習者のモニタリング能力が求められています。しばらくは定期的にふりかえり、練習していく必要がありそうです。

じっくりと考える問題を解いたり、年度の初めに算数アンケートをとると、必ずといってもいいほどこういう回答をする子がクラスに数名います。

「考えるのが、めんどくさい」

もちろんそういった子たちでも授業にはちゃんと問題を解いてはいるし、中には算数が得意な子もいます。それでも心の底にはじわじわと「めんどくさい気持ち｣が流れているのでしょう。

でも僕は、この「めんどくさい反応」を起こしている子とかかわるのがわりと好きです。だって、脳みそにとって、そもそも考えることはとてもめんどくさい作業だし、その身体信号に素直だから。

よくよく話を聴いてみると、塾や計算ドリルで徹底的反復練習によって鍛えられている子が多い。算数は「計算を早く、多く解く」ことだと誤解してしまっている。算数・数学の問題は、おまえはもうすでにわかっている問題を北斗百列拳のごとくあたたた解かされたり、はたまた、自分の力量にあっていない問題集を与えられた仕事をただただこなすよう努力する消費型タスク問題となってしまっていることがわかります。ひでぶ！

こういうトレーニングを続けていれば、算数・数学のもつパターンのおもしろさやその世界の広がりには気づけません。もちろん、最低限の計算能力は必要ですが、本当に夢中になってときたい問題と出会えれば、必要感が生まれてドリル問題であっても「ふつう」におつきあいできるようになってくるものです。ぎゅうぎゅう詰め込む必要はありません。ぎゅうぎゅうは焼き肉屋で十分です。既にわかっているのに、ただただ繰り返し出される問題の数々に、考えることをめんどくさいものと思わせてしまった教え手や問題の渡し手のほうに責任があります。

「考えることがめんどくさい」と言っている子たちの中には、問題をスラスラと解答できる子も多くいます。基礎的な知識の抜けが多く、解くことにまだ時間がかかっている子もいます。その子たちだって、算数・数学を好きになる可能性があります。

子どもたちに欠けている経験を補ってあげること。それは、「解きたいな」と思える魅力的で自分にあった問題と出会えること。しかもそれが選択できること。そして、「一緒に考えたい」と思える仲間に出会えること。それらを「数学者の時間」で支えているなと、やってみて改めて思うのです。

考えることが好きな子は、いつまでもこういうことを繰り返しています。

立方体や直方体だけだとちょっとツマラナイ。今度は、「数学者の時間」研究メンバーがもちゃんの先行実践を参考に、箱にフタがあるいびつな5角形宝箱づくりをしました（その設計図は岩崎書店『さんすうであそぼう』シリーズから）。

このいびつな5角形の宝箱づくりのおもしろいところは、説明をよみながら、自分で展開図を書いてつくるようになっています。しかも、分度器で精確に測れないと結果、辺の長さにズレがでてきてしまうしかけにもなっていて、より慎重な作業がもとめられる。そして、1ミリだけ大きくするフタの展開図はなかなか難しい。そして、箱とフタが反転してしまいどう解決するかも見物でした。結果、工作用紙の表裏を変えて箱とフタをつくる力業が。

子どもたちは2時間ぐらいかけて、「おい！どうしておまえズレるんだよ」「なんで〜！？なんで〜！？」などと、辺や面、そしてのりしろと対話しながらすすめていました。返答があるわけじゃないのにね。

完成した作品はそりゃーもういつまでも持ち歩きたくなる逸品です。

さて、いよいよ次回から一面展開図で算数数学をアートすることへ突入します。

立方体から次は、直方体の紹介をしました。さまざまな多面体について触れ、2種類の直方体を知り、展開図をつくったり、面と辺の関係について調べたり。ここではじめてテキストをもとに4時間ぐらいかけて、基礎的な図形の定義や算数キーワードをおさえました。ここまで立方体展開図をつくりまくっているので、直方体はちょちょいのちょいなかんじ。自分なりにおもしろい展開図を考えようとしている子もいました。

潤沢につくって体験することが先に土台としてあるから、知識がしみこむように理解できるのではないでしょうか。

こういう授業やっていると、少しずつ「勝手なおもしろい行動」が発生してきます。角柱の展開図について考えてみたり、円錐はだれもが苦心していました。牛乳パックを実際につくって「水いれたろーじゃん」と、おもしろそう。

一方で予想外だったことに、「直方体もやってみたい！」と自然と意見が出るかと思っていましたが、そういう感想はありませんでした（涙）。ここまでガッツリと立方体づくりを経験し、結構満足してしまったようなので、授業には組み込まず自学ノートにやりたい人はどうぞ、と紹介だけしました。

ちなみに、直方体の展開図はいくつあるかご存じですか？　なんと50種類以上もあるんです。だから、実際につくってためして、たしかめることはできませんね。系統的に順番にやるアイディアがここでもさらにいきてくるはず。

前回からひきつづき、立方体の展開図はいくつあるのか調べてみました。グループごとに出し合い、同じものは重ねて掲示していく。

すると、「13種類ある！」となんとも盛り上がりを見せています。表裏、上下、左右反転すると実は同じものがありました。しばらくとぼけていると、お互いグループごとに確認しつつ11種類に落ち着きました。

おもしろい見つけ方に、展開図をそれぞれ考えるのは難しいためか、立方体が6面であることをみつけ、その組み合わせを実際にためして、たしかめる作戦。こういうの空間認知が苦手な子にとっては支えとなってくれる秀逸なアイディアですね。

また、効率よくさがそうと「順番で考える作戦」で一つずつブロックをずらして展開図を探している子もします。こういう数学的な技を使えるってすばらしい。クラス全体で整理するときに活かせそうです。

僕は、子どもたちがこういう考える時間がなんともおもしろくてスキです。あっという間の時間がすぎてしまう感覚。「もう休み時間なの？」と。「授業/休み時間逆転現象」とよびたい。

そして、次の時間に「順番で考える作戦」でまとめてみると、3パターン＋それにあてはまらない2つで決着つきました。こういう経験をしていると、やみくもに探す必要も暗記する必要もなく、系統的に確かめようとすれば、いつでも頭の中から引き出せるので秀逸ですね。

実際につくって、くらべて、まとめてみる。こういう作業をみんなで考えるとちがいがでてきたり、まちがいもでてきて楽しい。そういう算数、好きだなぁ。

2時間目は、より複雑なサイコロパズルから4つの立方体の展開図を見つけだす問題から（ガウスの会『オイラー先生のおもしろ図形問題集プラス』参考）。いわゆる簡単な十時の展開図よりも複雑な展開図を経験していきます。

これは頭をひねる！　子どもたちはみんな手を使って「こうでしょ。こうでしょと」ダチョウ倶楽部やーやー状態になってしまう笑。

この立体単元ではこれまでの本校の学習計画とは変えて、ていねいに「教える/教わる」といった教師と子どもの関係から、教師による投げかけから、自分で学び取る姿勢をもってほしいといきなり展開図からの導入でした。そのためには夢中になって「追求したい、やってみたい、知りたい」何かがある必要です。

夢中を発動するしかけのひとつ「ものづくり」を使いました。ちょきちょきハサミを使って、おしゃべりしながら楽しそう。子どもたちの様子をみながら単元計画を修正しながら組み立てている授業です。

しばらくすると、頭をつきあわていた子たちがサイコロを4つ完成しはじめました。嬉しそうに教えに回っています。こういうとき、素直に集団で一つのことをみんなで学ぶよさが生まれている瞬間。

前時でつくったのりしろありのサイコロの中にちょうど4つも収まるので嬉しそうにしまってありました。

ここから問いが生まれてきます。「はて、立方体の展開図ってまだ他にもあるのかな？」　そしてこれが次時の導入となっていきました。

3学期の算数では、算数探究「算数・数学におけるアートとは何か？」をはじめました。今、立体単元でまとめの一面展開図の算数作品づくりに挑戦中。自分の算数作品をつくるまでに、さまざまな立体に触れる経験をしてきました。それが、子どもたちの今の、そしてこれからの挑戦を支えてくれる実感があります。

年の初めには、「あけましておめでとう。さぁ、算数やるよ！」「えええええ〜！！」とサイコロパズルからスタートしました（ガウスの会『オイラー先生のおもしろ図形問題集プラス』参考）。2つのサイコロ展開図を見つけ出してサイコロ作り。できたら、それを見本にサイコロづくり。しかものりしろあり！これがまたおもしろいけど、難しい。のりしろの位置をどうアレンジするのか。最初にすべての辺にのりしろをつくり、後で処理する輩もいました。こういう発想は面白いなと思う。つくりながら学ぶ。まさにそういうこと。

そして、自分たちでつくったサイコロをコマにしながら、冬休みの出来事すごろくをつくって遊ぶ。これがまたおもしろかった！　みんな、いろんな出来事があるのね笑。わははとスタートした3学期でした。

最初の1時間目はタングラムとは一体何なのかを紹介しました。そして、全員で同じ一つの問題をといてみる経験を共有しました。約束ごとに、すべてのタイルを使うこと、表裏の指定はしませんでした（裏表があることで難易度があがります）。

次の2〜3時間目では、先日の本を参考に図形問題をいっきに10問ほど提示し、子の中の問題を解くことにしました。一つの問題にスタックしたとき、あきらめずに取り組むもよし、他の問題にもチャレンジするのもよし、それが多くあることのよさかな。

「残りの時間（25分ぐらい）で、クラス全員で①〜⑩の全ての問題を解決しよう！」とクラス全員の達成課題にしてみると、「うおお、やってやろうじゃん」と「手分けしてもいいの？」など、なかなかいい雰囲気で、解き合い始めることができました。やっぱり、こういうパズル系の教材はとかく一人旅になりがちだけど、一緒にやればやるほど楽しいものになる。一方で、友だち関係を引きずって、せまい関係性に閉じている場面も見受けられたため、次からはグループ隊形にしてからはじめることにしました。隊形がかわるだけで、会話の量と対象がいっきにかわるから。

こういうときに、一人一台iPadがあるといいなと思うのです。途中経過やその解答を写真で手軽に記録したり、共有したりもできる。本校は、画面を見る時間よりも五感を使うことを大事にしようと、あえて制限しているけど、便利につかっていけるといい。

問題が解ける度に、ノートに記録するけれど、まだ拡大・縮小していないので、うつすことに手こずる子も数人いました。10問の内、一問でも解決できれば、黒板に名前を書きに来る。それが嬉しいようです。子どもたちは「あと⑫番が解決してない！」と声かけながらやっていました。普段、算数では大人しくしている子が「⑨は私だけできた！」とごまんえつな姿も。それを祝福されて大盛り上がり。この「だけ」というところに集団で学ぶおもしろさがあったり、その後の算数・数学人生を変えるきっかけになるとかならないとか。

放課後、「⑫はだれも解けなかったから、家で自学ノートにやってきたい」と、タングラムを借りにきました。それに触発されて「私も！私も！」と持って帰る子も出てきました。さっそく静かなるタングラムブームが笑。子ども用に厚紙バージョンも配り、各家庭でできるようにしました。

つづく

タングラムのおもしろさの一つに「ヒラメキ」があります。その特徴は

• すぐにできそう！でも、なかなか解けない（しかも答えは単純だった笑）。

• そのやり方が上手くいかないと分かっていても，なかなかそこから抜け出せない（そんな自分をいやというほど知る）。
• 手を動かしていると、正解が突然ひらめく。

このひらめきに関しては、夏の校内研修で紹介されていた、鈴木宏昭『私たちはどう学んでいるのか』（ちくまプリマー新書2022）の第5章に、ひらめき（洞察による認知的変化）について記述があります。

“ひらめきは突然訪れるかのように語られることが多い。しかしひらめきは練習による変化、発達による変化と同じ、つまり多様で冗長な認知リソースとその間の競合による揺らぎが、それが実行される環境と一体となり創発される。そしてその過程の大半は無意識的に進む。だから、ひらめいたときの驚きは、実は自分の無意識的な心の働きに対してのものなのだ。

『私たちはどう学んでいるのか』P.137” 

つまり、タングラムのような単純な問題がとけないのは、私たちの中にキョーレツな思い込みが存在するからであって、その思い込みが頭の目隠しとして機能してしまう。

しかし、その思い込みは思考の枠組みとして、日々の生活の中では考える認知的負荷を下げてくれる役割もあります。悲しい場面で相手の目に涙を見つけたとき、目薬をさしたのか、目にゴミがはいったのかなどと、わざわざ考え直さなないでしょ。

思い込みは問題解決場面においては制約要件として、はたらいてしまうことがこのタングラムからわかってきます。「この四角の角には□を使いたい。こっちの三角はきっと大きい△を使うにちがいない」といったような思い込みが、正答の邪魔をしてしまうのです。

実際に子どもからは「すごい思い込みをしていてできない問題もあったけれど、とけたらこういうことかと納得した」と感想がありました。

ここから抜け出るためには、自分の思い込みを認知し、様々な配置のパターンをためすことでヒントをつかめるようになります。さらに多様性の高い試行錯誤の末、突然、ひらめきに至るのです。

そこで、授業では「ひらめきやすい思考」「だれも思い込みがある」の二つの数学的に考えるミニレッスンを用意しました。最初2時間程度を予定したけれど、子どもたちの熱中、教材のおもしろさに感化され、結果、以下のようになりました。

•  1時間目・タングラムを知る。全員で数問を解いてみる。
• 2・3時間目・ミニレッスン：ひらめきをうむ・クラス全員で協力して全ての問題を達成する（2時間目：図形型問題・3時間目：文字型問題）
• 4時間目・ミニレッスン：思い込みをなくす・タングラム問題をつくる。5時間目・友だち問題を解いて楽しむ祝福タイム。

つづく